Erros cotidianos com probabilidades

Trataremos de alguns aspectos simples da Teoria das Probabilidades:

• confusão entre as duas medidas usuais de chance ou acaso: probabilidade e favorabilidade
• a noção de valor esperado
• lei das médias e a ruína do jogador

Confusão entre as medidas usuais de chance ou acaso

Existem duas medidas de chance: a probabilidade e a favorabilidade. As duas são facilmente relacionáveis, mas enquanto a escola trata exclusivamente da probabilidade, muitas são as situações do cotidiano onde se usa exclusivamente a favorabilidade, como é o caso dos jogos esportivos e as apostas em jogos de azar. Além disso, a noção de favorabilidade está mais próxima da medida subjetiva de chance. Está assim delineada uma situação que tende a produzir confusões.
Vale a pena recordarmos esses conceitos:

DEFINICAO:
A probabilidade p de ocorrer um evento é o quociente entre a quantidade ou medida dos casos favoráveis pela quantidade ou medida de todas as possibilidades ( favoráveis ou desfavoráveis). Já a favorabilidade desse evento é o quociente entre as quantidade ou medida de casos favoráveis pela dos casos desfavoráveis.

No caso de um evento com um número finito de resultados, b bons ou favoráveis e r ruins ou desfavoráveis, temos que essas definições podem ser escritas como:

p = b / ( r + b )

f = b / r

É imediato ver que o valor de p sempre tem de estar entre 0 e 1, e o da favorabilidade entre 0 e infinito.
As duas medidas implicam um modo diferente de pensar. Por exemplo:

• em termos de probabilidade, um evento tem mais chance de ocorrer do que de não ocorrer quando sua probabilidade for maior do que 0.5 = 50%
• em termos de favorabilidade, um evento tem mais chance de ocorrer do que de não ocorrer quando sua favorabilidade for maior do que um

Apesar dessa diferença, as duas noções estão relacionadas. Com efeito, uma rápida manipulação algébrica nos permite expressar uma em termos da outra:

p = f / ( 1 + f )

f = p / ( 1 - p )

EXEMPLO 1
Um micro-empresário concluiu que há uma chance de 3 em 2 que seu novo negócio tenha sucesso. Traduzir isso em termos de probabilidade.
Solução:
O empresário expressou-se da maneira comum no cotidiano. Traduzindo isso para a terminologia matemática, ele disse que a favorabilidade de seu negócio ter sucesso é f = 3/2 = 1.5, de modo que a probabilidade de sucesso é p = 1.5/2.5 = 0.6 = 60% .

EXEMPLO 2
Vejamos agora uma situação mais propensa a confusões: tratemos de expressar a chance de tirarmos um 3 ao lançarmos um dado.
Se usarmos a probabilidade como medida de chance, diremos que a probabilidade de sucesso é 1 / 6.
Mas o jogador prefere dizer que a favorabilidade do sucesso é 1 / 5. Claro que maior confusão resultará se o jogador afirmar que a chance de sucesso é 1 / 5. O ouvinte poderá entender que ele estava se referindo à probabilidade.

A principal razão dos apostadores preferirem a favorabilidade, em vez de a probabilidade, é que essa lhe permite formular diretamente suas apostas. Com efeito, se ele acha que tem favorabilidade 3/2 de ganhar, ele está pronto para apostar R$ 3 000 contra R$ 2 000, ou R$ 150 contra R$ 50, etc.
Isso leva a outro aspecto interessante. A maioria dos jogadores escolhe sua aposta de um modo intuitivo e assim, ao dizer que aposta R$ 300 contra $ 200, nem sempre significa que ele tenha calculado o verdadeiro valor da favorabilidade e que a mesma tenha dado f = 3/2. Caso isso efetivamente ocorra, dizemos que a aposta é honesta.

EXEMPLO 3
José aposta R$30 contra R$ 4 que seu time de futebol ganha a próxima partida. Pergunta-se: essa aposta é honesta?
Solução:
Para responder, precisamos calcular a chance de vitória de seu time. Suponhamos que examinando o desempenho do mesmo no atual campeonato, tenhamos concluído que o mesmo tem mantido uma performance de 8 vitórias por cada 9 partidas jogadas, poderemos dizer que p = 8/9 e que f = 8/9 / ( 1 - 8/9 ) = 8. De modo que a aposta seria honesta se fosse R$ 32 contra R$ 4. Como são apenas R$ 30 contra os R$ 4, José está fazendo uma aposta desonesta e que o favorece.

erros com a noção de valor esperado

Esse conceito surgiu antes da noção de probabilidade. Historicamente, foi introduzido para quantificar o provável ganho de um jogador, mas hoje é aplicado nas mais diversas situações. Como é muito mal entendido, vale a pena recordar sua definição:

DEFINICAO:
Se uma variável aleatória assume valores v ₁, v ₂, ... , v _n cujas probabilidades são, respectivamente: p ₁, p ₂, ... , p _n, sendo que p ₁ + p ₂ + ... + p _n = 1, então o valor esperado dessa variável é:

v ₁ p ₁ + v ₂ p ₂ + ... + v _n p _n

EXEMPLO 1
O governo avalia em 22%, 36%, 28% e 14% a probabilidade de que a venda da estatal XYZ renda um lucro de MR$ 2 500, MR$ 1 500 e MR$ 500, ou um prejuízo de MR$ 500. Qual o lucro esperado?
Solução:
valor esperado = 2 500*0.22 + 1500*0.36 + 500*0.28 - 500*0.14 = 1 160 MR$

EXEMPLO 2
Suponha uma companhia de seguros que, por experiência, sabe que, em média, em cada ano, paga um prêmio de 200 000 para uma de cada 10 000 de suas apólices, paga um prêmio de 50 000 para uma de cada 1000 apólices e paga 2000 para uma em cada 50 de suas apólices. Qual o gasto médio que ela tem para cada apólice que vende ?
Solução:
uma interpretação do valor esperado é como média, uma média ponderada por probabilidades. No caso dos seguros, como em qualquer outro, sempre temos de verificar se as probabilidades dadas perfazem 100%. Levando em conta isso, temos que o dispêndio média anual é:

200 000 * 1/10000 + 50 000 * 1/1000 + 2000 * 1/50 + 0 * (10 000 - (1+10+200))/10000 = $ 110

EXEMPLO 3
Usando a noção de valor esperado, podemos facilmente ver o quão equivocada é a expectativa dos apostadores de jogos de cassino, jogo do bicho e loterias. Nesses jogos, em média, o jogador sempre perde.
Comecemos por uma loteria simples e fácil de entender: jogadores apostam $5 em um número de 000 a 999, recebendo $ 2 500 se o mesmo for sorteado. Interessado? Vejamos: as probabilidades de acertar e errar são: 0.001 e 0.999, de modo que, em cada aposta, o jogador em média recebe: 2500 * 0.001 - 5 * 0.999 = -2,495, ou seja: ele perde, em média, $ 2.50 cada vez que jogar.
No caso da roleta mais comumente usada no Brasil: a roda traz os números de 1 a 36 e mais duas casas especiais denotadas por 0 e 00. Na aposta chamada "jogo no pleno" o jogador aposta num desses 38 números e o cassino paga $36 por cada $1 apostado. Consequentemente, o ganho esperado do jogador é:

36 * 1/38 - 1 * 37/38 = -0.0263

Ou seja, o jogador perde, em média, $ 0.0263 por cada $1 jogado. Observe que é mais lucrativo ter cassino do que loteria. Procure verificar que o roubo ainda é maior se forem usadas mais duas casas, lua e meia-lua, e que fica menor no caso das chamadas roletas internacionais, que tem os números de 1 a 36 e mais uma casa 0. Deu para entender por que tantas "boas almas" querem a legalização dos cassinos no Brasil ?
O roubo é bem maior no caso do jogo do bicho, que o povo chama de "jogo honesto". Infelizmente, sua complexidade faz a análise matemática do mesmo demasiado longa para nossos propósitos.